perspective

perspective/perspective.md

@@ -0,0 +1,138 @@
+# 透视投影
+
+# 总体思路：
+ 1.先透视变换 $P_{透视}$
+ 2.再投影 $P_{投影}$
+ 3.最终的变换矩阵 $T = P_{透视}P_{投影}$
+ 4.定点序列 $V_{new}=V_{origin}T $ 
+# 1. 透视
+
+## 1.1 一点透视
+
+### 步骤：
+
+ (1) 进行平移变换，将三维形体平移到适当位 置l、m、n；
+
+ (2)进行透视变换；
+
+ (3)进行投影变换，向xoy平面作正投影变换，将结果变换到xoy平面上。
+
+ 变换矩阵：
+<center>
+
+$P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}$
+</center>
+
+## 1.2 两点透视
+
+### 步骤：
+
+&emsp;(1)先将三维形体平移到适当位置，使视点有一定 高度，且使形体的主要表面不会积聚成线；
+
+&emsp;(2)将形体绕y轴旋转一个φ⻆(φ<90 ̊)，方向满足 右手定则；
+
+&emsp;(3)进行透视变换；
+
+&emsp;(4)最后向xoy面作正投影，即得二点透视图。
+
+&emsp;变换矩阵：
+<center>
+
+$P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos(φ)&0&sin(φ)&0\\0&1&0&0\\-sin(φ)&0&cos(φ)&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
+</center>
+
+## 1.3 三点透视
+
+### 步骤：
+
+&emsp;(1)首先将三维形体平移到适当位置;；
+
+&emsp;(2)将形体进行透视变换；
+
+&emsp;(3)然后使形体先绕y轴旋转φ⻆；
+
+&emsp;(4)再绕x轴旋转θ⻆；
+
+&emsp;(5)将变形且旋转后的形体向xoy面作正投影。
+
+&emsp;变换矩阵：
+<center>
+
+$P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cosφ&0&sinφ&0\\0&1&0&0\\-sinφ&0&cosφ&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&cosθ&sinθ&0\\0&-sinθ&cosθ&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
+</center>
+
+# 2 投影
+
+<center>
+<img src="pic//Untitled.png" width="400">
+</center>
+
+&emsp; 首先考虑这样一种最简单的情况，假设投影中心为坐标为  $(0, 0, -d)$ ，空间中任意一点$P(x,y,z)$,投影到$xOy$平面一点$P^’(x^’,y^’,0)$，由相似三角形易证:
+<center>
+
+$x^’= \frac{d}{d+z}*x$
+
+$y^’= \frac{d}{d+z}*y$
+</center>
+
+&emsp; 易得，$P^’$的齐次坐标位为
+
+<center>
+
+ $[\frac{d}{d+z}*x,\frac{d}{d+z}*y,0,1]$ 
+</center>
+
+&emsp; 即
+
+<center>                                     
+
+$[x,y,0,\frac{1+z}d]$
+</center>
+&emsp; 因此，投投影矩阵为
+
+<center>
+
+$P_{投影}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1 \\ \end{bmatrix}$
+</center>
+&emsp; 推广：空间任意一点作为投影中心，投影到xOy平面
+
+<center> 
+
+$P_{投影}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \\ -x_0&-y_0&0&1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \\ x_0&y_0&0&1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  1&0&0&0\\0&1&0&0\\\frac{x}{d}& \frac{y}{d}&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$
+</center>
+
+# 3 实例
+&emsp;假设初始顶点序列表示一个顶点在原点，边长为2的正方体，视点在（4，4，-2），投影平面在$xOy$。
+&emsp;用蓝色图形表示原图形；红色图形表示透视移动后的图形；黑色图形表示投影结果；绿色平面是投影平面；粉色虚线表示进行透视所进行的变换对应关系；黄色虚线表示投影进行的变换关系。
+## 3.1 一点透视
+&emsp;假设移动距离L=6，M=5，N=1
+<center>
+<img src="pic/Figure_2.png" width="400">
+
+<p>一点透视三维示意图</p>
+<img src="pic/Figure_1.png" width="400">
+
+<p>一点透视投影结果</p>
+</center>
+
+## 3.2 二点透视
+&emsp;假设移动距离L=6，M=5，N=1，φ=40$^。$
+<center>
+<img src="pic/Figure_4.png" width="400">
+
+<p>一二点透视三维示意图</p>
+<img src="pic/Figure_3.png" width="400">
+
+<p>二点透视投影结果</p>
+</center>
+
+## 3.3 三点透视
+&emsp;假设移动距离L=1，M=-3，N=4，φ=45$^。$,θ=30$^。$
+<center>
+<img src="pic/Figure_6.png" width="400">
+
+<p>三点透视三维示意图</p>
+<img src="pic/Figure_5.png" width="400">
+
+<p>三点透视投影结果</p>
+</center>

perspective/perspective.py

@@ -19,19 +19,38 @@ def projection_trans(view_point,points):
     new_points=np.matmul(points,mtx)
     return new_points
 
-def one_point_projection(L,M,N,view_point,point):
-    '''一点'''
+def one_point_perspective(L,M,N,view_point,point):
+    '''一点透视：移动L，M，N'''
+    mtx_mv=np.array([[1,0,0,0],
+                    [0,1,0,0],
+                    [0,0,1,0],
+                    [L,M,N,1]],dtype=np.float32)
+    new_point=np.matmul(point,mtx_mv)
+
+    return new_point
+
+def two_point_perspective(L,M,N,a,view_point,point):
+    '''二点透视'''
+    #先移动L，M，N
     mtx_mv=np.array([[1,0,0,0],
                     [0,1,0,0],
                     [0,0,1,0],
                     [L,M,N,1]],dtype=np.float32)
     point=np.matmul(point,mtx_mv)
-   # print(point)
-    new_point=projection_trans(view_point,point)
-    return new_point,point
 
-def two_point_projection(L,M,N,a,view_point,point):
-    '''二点'''
+    #绕y轴旋转 a 度（a<90deg）
+    a=a/180*np.pi
+    mtx_roty=np.array([[np.cos(a),0,np.sin(a),0],
+                    [0,1,0,0],
+                    [-1*np.sin(a),0,np.cos(a),0],
+                    [0,0,0,1]],dtype=np.float32)
+    new_point=np.matmul(point,mtx_roty)
+
+    return new_point
+
+
+def three_point_perspective(L,M,N,a,b,view_point,point):
+    '''三点透视'''
     #先移动L，M，N
     mtx_mv=np.array([[1,0,0,0],
                     [0,1,0,0],
@@ -47,71 +66,18 @@ def two_point_projection(L,M,N,a,view_point,point):
                     [0,0,0,1]],dtype=np.float32)
     point=np.matmul(point,mtx_roty)
 
-   # print(point)
-    new_point=projection_trans(view_point,point)
-    return new_point,point
-
-
-def three_point_projection(L,M,N,a,b,view_point,point):
-    '''三点'''
-    #先移动L，M，N
-    mtx_mv=np.array([[1,0,0,0],
-                    [0,1,0,0],
-                    [0,0,1,0],
-                    [L,M,N,1]],dtype=np.float32)
-    point=np.matmul(point,mtx_mv)
-    print("aaa")
-    print(point)
-    #绕y轴旋转 a 度（a<90deg）
-    a=a/180*np.pi
-    mtx_roty=np.array([[np.cos(a),0,np.sin(a),0],
-                    [0,1,0,0],
-                    [-1*np.sin(a),0,np.cos(a),0],
-                    [0,0,0,1]],dtype=np.float32)
-    point=np.matmul(point,mtx_roty)
-    print("bbb")
-    print(point)
     #绕x轴旋转 b 度（b<90deg）
     b=b/180*np.pi
     mtx_rotx=np.array([[1,0,0,0],
                     [0,np.cos(b),np.sin(b),0],   
                     [0,-1*np.sin(b),np.cos(b),0],
                     [0,0,0,1]],dtype=np.float32)
-    point=np.matmul(point,mtx_rotx)
-    print("ccc")
-    print(point)
-   # print(point)
-    new_point=projection_trans(view_point,point)
-    return new_point,point
+    new_point=np.matmul(point,mtx_rotx)
+
+    return new_point
 
 
-view_point = np.array([0,0,-1,1],dtype=np.float32)
-points= np.array([[0,0,0,1],
-                [1,0,0,1],
-                [1,1,0,1],
-                [0,1,0,1],
-                [0,0,0,1],
-                [0,0,1,1],
-                [1,0,1,1],
-                [1,1,1,1],
-                [0,1,1,1],
-                [0,0,1,1],
-                [0,0,0,1],
-                [1,0,0,1],
-                [1,0,1,1],
-                [1,1,1,1],
-                [1,1,0,1],
-                [0,1,0,1],
-                [0,1,1,1]],dtype=np.float32)
-               
-
-#new_points=one_point_projection(0,0,0,view_point,points)
-new_points,ori_points=three_point_projection(2,3,1,50,30,view_point,points)
-
-new_points=homo2cart(new_points)
-
-
-def draw(view_point,ori_points,new_points):
+def draw(view_point,ori_points,mv_points,new_points):
     plt.scatter(new_points[:,0],new_points[:,1],c="black")
     plt.plot(new_points[:,0],new_points[:,1],c="black")
     ax=Axes3D(plt.figure())
@@ -123,23 +89,63 @@ def draw(view_point,ori_points,new_points):
 
     ax.plot_surface(X,Y,Z=X*0,color='g',alpha=0.3) 
 
-    ax.scatter(ori_points[:,0],ori_points[:,1],ori_points[:,2])
+    #原来的点阵
+    ax.scatter(ori_points[:,0],ori_points[:,1],ori_points[:,2],c="brown")
+    ax.plot(ori_points[:,0],ori_points[:,1],ori_points[:,2],c="brown")
+    #透视移动后
+    ax.scatter(mv_points[:,0],mv_points[:,1],mv_points[:,2])
     ax.scatter(view_point[0],view_point[1],view_point[2],c='r')
-    ax.plot(ori_points[:,0],ori_points[:,1],ori_points[:,2])
-    ax.get_proj = lambda: np.dot(Axes3D.get_proj(ax), np.diag([1,1, 0.5, 1]))
-
+    ax.plot(mv_points[:,0],mv_points[:,1],mv_points[:,2])
+    ax.get_proj = lambda: np.dot(Axes3D.get_proj(ax), np.diag([1,1, 1, 1]))
+    #投影后
     ax.scatter(new_points[:,0],new_points[:,1],c="black")
     ax.plot(new_points[:,0],new_points[:,1],c="black")
 
+    #原来与移动后点两两连接
+    for i in range(len(mv_points)):
+        ax.plot([ori_points[i,0],mv_points[i,0]],[ori_points[i,1],mv_points[i,1]],[ori_points[i,2],mv_points[i,2]],c="pink",linestyle='--')
+    #两组点两两连接
+    for i in range(len(mv_points)):
+        ax.plot([mv_points[i,0],view_point[0]],[mv_points[i,1],view_point[1]],[mv_points[i,2],view_point[2]],c='y',linestyle='dashdot')
 
     ax.set_zlabel('Z', fontdict={'size': 15, 'color': 'red'})
     ax.set_ylabel('Y', fontdict={'size': 15, 'color': 'red'})
     ax.set_xlabel('X', fontdict={'size': 15, 'color': 'red'})
 
-
-
     plt.show()
 
 
+#视点（0，0，-1，1）
+view_point = np.array([4,4,-2,1],dtype=np.float32)
+#以（0，0，0）为原点的正方体
+points= np.array([[0,0,0,1],
+                [2,0,0,1],
+                [2,2,0,1],
+                [0,2,0,1],
+                [0,0,0,1],
+                [0,0,2,1],
+                [2,0,2,1],
+                [2,2,2,1],
+                [0,2,2,1],
+                [0,0,2,1],
+                [0,0,0,1],
+                [2,0,0,1],
+                [2,0,2,1],
+                [2,2,2,1],
+                [2,2,0,1],
+                [0,2,0,1],
+                [0,2,2,1]],dtype=np.float32)
+                
+#获得透视移动后的点和投影后的点
+#per_points=one_point_perspective(6,5,1,view_point,points)
+#per_points=two_point_perspective(6,5,1,40,view_point,points)
+#透视移动后的点
+per_points=three_point_perspective(1,-3,3,45,30,view_point,points)
+#投影后的点
+pro_points=projection_trans(view_point,per_points)
+#转为笛卡尔坐标系
+per_points=homo2cart(per_points)
+pro_points=homo2cart(pro_points)
 
-draw(view_point,ori_points,new_points)
+#画图
+draw(view_point,points,per_points,pro_points)