透视投影

总体思路：

1.先透视变换 $P_{透视}$ 2.再投影 $P_{投影}$ 3.最终的变换矩阵 $T = P_{透视}P_{投影}$ 4.定点序列 $V_{new}=V_{origin}T $

1. 透视

1.1 一点透视

步骤：

(1) 进行平移变换，将三维形体平移到适当位置l、m、n；

(2)进行透视变换；

(3)进行投影变换，向xoy平面作正投影变换，将结果变换到xoy平面上。

变换矩阵：

P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}

1.2 两点透视

步骤：

(1)先将三维形体平移到适当位置，使视点有一定高度，且使形体的主要表面不会积聚成线；

(2)将形体绕y轴旋转一个φ⻆(φ<90 ̊)，方向满足右手定则；

(3)进行透视变换；

(4)最后向xoy面作正投影，即得二点透视图。

变换矩阵：

P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos(φ)&0&sin(φ)&0\\0&1&0&0\\-sin(φ)&0&cos(φ)&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}

1.3 三点透视

步骤：

(1)首先将三维形体平移到适当位置;；

(2)将形体进行透视变换；

(3)然后使形体先绕y轴旋转φ⻆；

(4)再绕x轴旋转θ⻆；

(5)将变形且旋转后的形体向xoy面作正投影。

变换矩阵：

P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cosφ&0&sinφ&0\\0&1&0&0\\-sinφ&0&cosφ&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&cosθ&sinθ&0\\0&-sinθ&cosθ&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}

2 投影

首先考虑这样一种最简单的情况，假设投影中心为坐标为 (0, 0, -d) ，空间中任意一点P(x,y,z),投影到$xOy$平面一点$P^’(x^’,y^’,0)$，由相似三角形易证:

x^’= \frac{d}{d+z}*x

y^’= \frac{d}{d+z}*y

易得，$P^’$的齐次坐标位为

[\frac{d}{d+z}*x,\frac{d}{d+z}*y,0,1]

即

[x,y,0,\frac{1+z}d]

因此，投投影矩阵为

P_{投影}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1 \\ \end{bmatrix}

推广：空间任意一点作为投影中心，投影到xOy平面

P_{投影}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \\ -x_0&-y_0&0&1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \\ x_0&y_0&0&1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\\frac{x}{d}& \frac{y}{d}&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}