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# 透视投影
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# 总体思路：
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 1.先透视变换 $P_{透视}$
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 2.再投影 $P_{投影}$
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 3.最终的变换矩阵 $T = P_{透视}P_{投影}$
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 4.定点序列 $V_{new}=V_{origin}T $
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# 1. 透视
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## 1.1 一点透视
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### 步骤：
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 (1) 进行平移变换，将三维形体平移到适当位 置l、m、n；
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 (2)进行透视变换；
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 (3)进行投影变换，向xoy平面作正投影变换，将结果变换到xoy平面上。
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 变换矩阵：
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$P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}$
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</center>
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## 1.2 两点透视
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### 步骤：
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 (1)先将三维形体平移到适当位置，使视点有一定 高度，且使形体的主要表面不会积聚成线；
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 (2)将形体绕y轴旋转一个φ⻆(φ<90 ̊)，方向满足 右手定则；
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 (3)进行透视变换；
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 (4)最后向xoy面作正投影，即得二点透视图。
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 变换矩阵：
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<center>
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$P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos(φ)&0&sin(φ)&0\\0&1&0&0\\-sin(φ)&0&cos(φ)&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
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</center>
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## 1.3 三点透视
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### 步骤：
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 (1)首先将三维形体平移到适当位置;；
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 (2)将形体进行透视变换；
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 (3)然后使形体先绕y轴旋转φ⻆；
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 (4)再绕x轴旋转θ⻆；
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 (5)将变形且旋转后的形体向xoy面作正投影。
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 变换矩阵：
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<center>
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$P_{透视}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\L&M&N&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cosφ&0&sinφ&0\\0&1&0&0\\-sinφ&0&cosφ&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&cosθ&sinθ&0\\0&-sinθ&cosθ&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
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</center>
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# 2 投影
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<img src="pic//Untitled.png" width="400">
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</center>
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  首先考虑这样一种最简单的情况，假设投影中心为坐标为 $(0, 0, -d)$ ，空间中任意一点$P(x,y,z)$,投影到$xOy$平面一点$P^’(x^’,y^’,0)$，由相似三角形易证:
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$x^’= \frac{d}{d+z}*x$
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$y^’= \frac{d}{d+z}*y$
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</center>
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  易得，$P^’$的齐次坐标位为
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$[\frac{d}{d+z}*x,\frac{d}{d+z}*y,0,1]$
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</center>
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  即
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$[x,y,0,\frac{1+z}d]$
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</center>
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  因此，投投影矩阵为
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$P_{投影}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1 \\ \end{bmatrix}$
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</center>
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  推广：空间任意一点作为投影中心，投影到xOy平面
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$P_{投影}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \\ -x_0&-y_0&0&1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \\ x_0&y_0&0&1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\\frac{x}{d}& \frac{y}{d}&0& \frac{1}{d} \\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$
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</center>
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# 3 实例
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 假设初始顶点序列表示一个顶点在原点，边长为2的正方体，视点在（4，4，-2），投影平面在$xOy$。
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 用蓝色图形表示原图形；红色图形表示透视移动后的图形；黑色图形表示投影结果；绿色平面是投影平面；粉色虚线表示进行透视所进行的变换对应关系；黄色虚线表示投影进行的变换关系。
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## 3.1 一点透视
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 假设移动距离L=6，M=5，N=1
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<img src="pic/Figure_2.png" width="400">
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<p>一点透视三维示意图</p>
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<img src="pic/Figure_1.png" width="400">
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<p>一点透视投影结果</p>
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</center>
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## 3.2 二点透视
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 假设移动距离L=3，M=3，N=2，φ=60$^。$
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<img src="pic/Figure_4.png" width="400">
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<p>一二点透视三维示意图</p>
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<img src="pic/Figure_3.png" width="400">
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<p>二点透视投影结果</p>
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</center>
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## 3.3 三点透视
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 假设移动距离L=3，M=-3，N=2，φ=60$^。$,θ=60$^。$
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<img src="pic/Figure_6.png" width="400">
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<p>三点透视三维示意图</p>
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<img src="pic/Figure_5.png" width="400">
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<p>三点透视投影结果</p>
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